リッカチの微分方程式 - ふくほのひとりごと。

ふくほです。
リッカチの微分方程式について
わかったことをまとめます。

1. リッカチの微分方程式とは
2. 一般解を関数と置く
3. 微分方程式に代入する
最後に

1. リッカチの微分方程式とは

$y' + P(x) y^{2} + Q(x) y +R(x) = 0 \tag{1}$
の形の微分方程式を言います。
今回は、(1) の特殊解がわかっている場合の
解法を述べていきます。

2. 一般解を関数と置く

わかっている特殊解を $y_{0}$ とし
解 $y= y_{0} + u \tag{2}$
(但し $u = u(x)$ と置きます。)
すると
$y' = u' + y_{0}' \tag{3}$
となります。

3. 微分方程式に代入する

(2) (3) を (1) に代入します。
整理すると
$u' + u \{ 2 y_{1} P(x) + Q(x) \} = − u^{2} P(x)$
となります。
これは $n=2$ のベルヌーイの微分方程式です。
ベルヌーイの微分方程式についての記事は書いています。↓
fukuro-hoho.hatenablog.com

最後に

恐らく一般解を何かの関数に
置き換えて代入といった解法は
リッカチの微分方程式のみならず
色んな微分方程式に登場したと思います。
微分方程式わかりたい。
数学わからん。