ベルヌーイの微分方程式 - ふくほのひとりごと。

ふくほです。

ベルヌーイの微分方程式についてわかったことを自分なりにまとめようと思います。

ベルヌーイの微分方程式とは、

$y' + P(x)y = Q(x)y^{n}$

の形の微分方程式のことを言います。

右辺の $y^{n}$ が邪魔で単純な変数分離形には持ち込みづらいです。

そこで、両辺に $(-n+1)y^{-n}$ をかけます。

そうすると、微分方程式は

$(-n+1)y^{-n}y' +(-n+1) P(x)y^{-n+1} = (-n+1)Q(x)$

となります。

ここで、 $u= y^{-n+1}\$ という置換を行います。

すると、

$u' =\{ y^( - n + 1 ) \}' = (- n +1 ) y' y^{ - n }$

となるため、左辺第一項は $u'$ と一致します。

この処理により微分方程式は

$u' + (-n+1) P(x)u = (-n+1)Q(x)$

となり、一階線形微分方程式に帰着できるのでした。

一階線形微分方程式の解の公式は以下の記事で書きました。

初めてのブログで見苦しいですが、こんな感じです。

これから勉強したことを第二のノートがてらちょこちょこ載せていこうと思います。