ふくほのひとりごと。

高専生が勉強したことの自分用メモ。

ベクトル解析 / ポテンシャルについて簡単に

ふくほです。
最近更新が滞っていましたが
久々に記事を書きました。
最近、電磁気学の本を読んでいると
ベクトル解析がごりごり出てきたので
ちゃんとやらなきゃな…と思い
今に至ります。
まあ、初学でベクトル解析を学んだときは
イメージがつきにくかったので
いい機会なのかな、と思ったりしています。

今回はポテンシャルについて簡単に
まとめていこうと思います。

1. ポテンシャルとは

Wikipediaには
「潜在力、潜在性を意味する物理用語。」
とあります。
ja.wikipedia.org
まぁ、なんて難しいんだろう…

今回まとめているのは
「スカラーポテンシャル」
「ベクトルポテンシャル」
の2種類ですが
空間ベクトル場\vec{f}において
・スカラーポテンシャル
　：勾配(の-1倍)を取ると\vec{f}になるスカラー値関数
・ベクトルポテンシャル
　：回転を取ると\vec{f}になるベクトル値関数
となっています。

これが潜在性になるのはなんでかわかりません…
今度誰かに聞きにいこっと。

2. スカラーポテンシャル

スカラーポテンシャルをもつ場の例として
万有引力の場、重力場、電場などが
挙げられます。
電場のスカラーポテンシャルは電位です。

空間ベクトル場 \vec{f}において、
\vec{f} = - \nabla \varphi
を満たす \varphiを \vec{f}の
スカラーポテンシャルと呼びます。
この \varphiは x,y,zの関数です。

次に、空間ベクトル場\vec{f}が
スカラーポテンシャル\varphiをもつための
必要十分条件に付いて考えます。
これは\mathrm{rot}\vec{f}=0となります。
この渦のない場のことをラメラーって
いうらしいです。
(ググったらラメラーアーマー(鎧)ばっかり出てきたけど)
つまり
\vec{f} = - \nabla \varphi\Leftrightarrow \mathrm{rot}\vec{f} = 0
ってことですね。
詳しい証明はめっちゃ長いので割愛します…

3. ベクトルポテンシャル

空間ベクトル場 \vec{f}において、
\vec{f} = \mathrm{rot}\vec{g}
をみたすベクトル値関数 \vec{g}を
\vec{f}のベクトルポテンシャルと呼びます。
大学院レベルの電磁気学で
アンテナから電波が出てゆく解析において
仲介役とすることや
マクスェルの方程式を二つのポテンシャルで
書き直すときに使うみたいです。
とりあえず今回は数学としての
ベクトルポテンシャルで
とどめておこうかと。

次に、空間ベクトル場\vec{f}が
ベクトルポテンシャル\vec{g}をもつための
必要十分条件に付いて考えます。
これは\mathrm{div}\vec{f}=0となります。
この、湧き出しのない場は
ソレノイドになるみたいですね。
つまり
\vec{f} = \mathrm{rot} \vec{g} \Leftrightarrow \mathrm{div}\vec{f} = 0
ってことですね。
こちらも詳しい証明は長いので割愛します。
頑張って計算して必要性と十分生を
吟味したらいける！(え)

おわりに

証明を全く書かなかったので
めっちゃ雑な記事になってしまった…
目次の立て方が難しすぎる。
ベクトルを太字にしようと思ったのに
方法が調べても出てこなくて
仕方なく矢印にしたけどなんかなぁ…

電磁気学を学ぶ上でベクトル解析の
知識があるととても便利なので
これからも復習していこうと思います。
ストークスの定理とかフレネセレーとか
なーんもわからん。
数学わかりたい。