2階常微分方程式の特殊解の求め方 - ふくほのひとりごと。

ふくほです。
２階常微分方程式の
同伴方程式の基本解2つがわかっている場合の
一般解をの求め方について
わかることをまとめます。
今回扱う微分方程式は、全て
$y'' + P(x) y' + Q(x) y = R(x)\tag{1}$
とします。
計算過程は端折ってるところが多いですが
自力で導出できるようにしたいので
ある程度は丁寧に書いたつもりです…。

2つの基本解を $y_{1}, y_{2}$ とします。
まず、初めに結果を示します。
特殊解を $y_{0}$ とおくと、
$y_{0} = − y_{1}\int \dfrac{y_{2} R(x) }{W(y_{1}, y_{2})} + y_{2}\int \dfrac{y_{1} R(x) }{W(y_{1}, y_{2})} \tag{2}$
ここで
$\begin{align} W( y_{1}, y_{2} )= \begin{vmatrix} y_{1}&y_{1}'\\ y_{2}&y_{2}' \\ \end{vmatrix} = y_{1} y_{2}' − y_{1}' y_{2}\end{align}\tag{3}$
です。
(1)の一般解は、 $y_{1}, y_{2}, y_{0}$ を用いると
$y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} +y_{0} \tag{4}$
(但し, $C_{1}, C_{2}$ は定数)

となります。

では、 $y_{0}$ の導出過程を示します。
まず、余関数である $C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}$ の $C_{1}, C_{2}$ を
$x$ の関数 $C_{1}=C_{1}(x), C_{2}=C_{2}(x)$ とおいて
$y_{0} = C_{1}(x) y_{1} + C_{2}(x) y_{2}\tag{5}$ とします。
すると
$y_{0}' = C_{1}'y_{1} + C_{1}y_{1}' + C_{2}'y_{2} + C_{2}y_{2}'\tag{6}$
となります。
ここで、 $C_{1}'y_{1} + C_{2}'y_{2} = 0 \tag{7}$ とおきます。
( $y_{0}$ は1つ定まればよいのでこうしても問題ありません。)
これを適用させて
$y_{0}' =C_{1}y_{1}' + C_{2}y_{2}'\tag{8}$
$y_{0}'' =C_{1}y_{1}'' + C_{2}y_{2}'' + C_{1}'y_{1}' + C_{2}'y_{2}'\tag{9}$
が導かれます。
(5) (8) (9) を (1) に代入すると
$C_{1}' y_{1}' +C_{2}' y_{2}' =R(x) \tag{10}$
が求まります。
最後に (7) (10) を連立方程式として解きます。
$\begin{align} \begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}' & y_{2}' \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_{1}' \\ C_{2}' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ R(x) \\ \end{pmatrix} \end{align} \tag{11}$
これを解くと
$\begin{align} C_{1}' = -\frac{y_{2} \cdot R(x)}{W(y_{1}, y_{2})}, C_{2}' = \frac{y_{1} \cdot R(x)}{W(y_{1}, y_{2})} \end{align}$
となるから
$\begin{align} C_{1}' = -\int \frac{y_{2} \cdot R(x)}{W(y_{1}, y_{2})} , C_{2}' = \int \frac{y_{1} \cdot R(x)}{W(y_{1}, y_{2})} \end{align}$
となります！
この結果を (5) に代入すると (2) と同じ結果が得られます。
以上から特殊解を導くことができました。