完全微分方程式と積分因子の話 - ふくほのひとりごと。

ふくほです。
今回は完全微分方程式と積分因子について
わかることをまとめます。

1. 完全微分方程式とは
2. 両辺に掛ける関数を考える
- 2.1. xのみの関数の場合
- 2.2. yのみの関数の場合
3. 完全微分方程式の解法に従う
最後に

1. 完全微分方程式とは

$P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 \tag{1}$
という形の方程式のうち
$P_{y} = Q_{x} \tag{2}$
であるものをいいます。
今回は、(2) を満たさない (1)の形の
方程式の解法をまとめていきます。

2. 両辺に掛ける関数を考える

完全微分方程式でない場合
両辺に $x$ と $y$ の関数を何かかけて
完全微分方程式に持ち込むことを考えます。
その関数(積分因子と呼んでいます)を $\mu (x,y)$ とします。
$(\mu P)_{y} = (\mu Q)_{x} \tag{3}$
これが成り立つようにしたいです。
ここで、 $\mu$ が $x$ のみの
関数の場合と $y$ のみの
関数の場合について考えます。
(どちらかに絞らないととても難しいので)

2.1. xのみの関数の場合

(3) を整理すると
$\mu P_{y} = \mu _{x} Q + \mu Q_{x}$
となります。
( $\mu _{y} = 0$ )
これを $\mu$ についての微分方程式と
みなして解を求めると
$\mu = e^{\int \frac{ P_{y} − Q_{x}}{Q}dx }$
となります。

2.2. yのみの関数の場合

(3) を整理すると
$\mu Q_{x} = \mu _{y} P + \mu P_{y}$
となります。
( $\mu _{x} = 0$ )
これを $\mu$ についての微分方程式と
みなして解を求めると
$\mu = e^{\int \frac{ Q_{x} − P_{y}}{P} dy }$
となります。

3. 完全微分方程式の解法に従う

以下、微分方程式を
$\mu P dx + \mu Q = 0$
とします。
完全微分方程式の解法に従って
両辺を積分します。
以下が解になります。
$\int_{x_{0}}^{x} \mu P dx + \int _{y_{0}}^{y} \mu Q dy = 0$
ここの $x_{0}, y_{0}$ は適当な定数を入れます。
$0$ を入れることが多いそうですが、 $0$ で
値を取らない関数も存在するため考慮が必要です。

最後に

式変形により
$\frac{dy}{dx}=…$
の形にして解く方法もありますが
この式変形を行っても
上手く解けない場合があります。
ぜひこの解法も頭に入れておきたいですね。
数学わかりたい。