ラグランジュの微分方程式 - ふくほのひとりごと。

ふくほです。
ラグランジュの微分方程式について
わかることをまとめます。

1. ラグランジュの微分方程式とは
2. 解くための大まかな方針
3.ラグランジュの微分方程式を解く
最後に

1. ラグランジュの微分方程式とは

$y' = p \tag{1}$
として
$p = f(p) x + g(p) \tag{2}$
の形で表されるものを
ラグランジュの微分方程式といいます。

2. 解くための大まかな方針

(2) の両辺を $x$ で微分した方程式を
$x$ を $p$ で微分した方程式
とみなして $p$ の関数 $x$ を求めます。
そして求めた $x$ と $p$ の関係式を
$p$ について解きます。
最後に (2) から $p$ を消去することで
$x$ と $y$ の関係式
即ち一般解が求まります。

まず、(2) の両辺を $x$ で微分します。
$p = f(p) + f'(p) x p' + g'(p) p' \tag{3}$
これを変形して
$p − f(p) = p' \{f'(p) x + g'(p) \} \tag{4}$
ここで、両辺を
$p' \{ p − f(p) \}$
で割ります。(ここがすごい)
$\frac{1}{p'} = \frac{dx}{dp}$ であるから
以下、 $\frac{dx}{dp} = x'$ と表します。
(4) を割り算して整理すると
$x' − \dfrac{ f'(p) }{ p − f(p) }x − \dfrac{g'(p) }{ p − f(p) }$
これで1階線形常微分方程式に
帰着させることが出来ました！
1階線形常微分方程式の解法については
書いています。↓
fukuro-hoho.hatenablog.com