標準形を用いた2階常微分方程式の解法

ふくほです。
2階常微分方程式の
標準形を用いた解法について
分かったことをまとめます。
以下、微分方程式を
$y'' + P y' +Q y = R \tag{1}$
とします。

1. 解の形を決める
2. 代入してひとつの関数を求める
3. 左辺第3項を整理してもう1つの関数を求める
最後に

1. 解の形を決める

上記の微分方程式の解が
$y = u(x) \cdot v(x) \tag{2}$
の形で表されるものとします。
(以降、 $u(x) = u, v(x) = v$ とします。)
すると
$y' = u' v + u v'$
$y'' = u'' v + 2 u' v' + u v''$
となります。

2. 代入してひとつの関数を求める

先程求めた $y', y''$ を
(1)に代入します。
(詳しい計算過程は割愛)
$u$ についてまとめると
$u'' v +( 2 v' + P v ) u' + ( v'' + P v' + Q v ) u =R \tag{3}$
となります。
ここで、 $u'$ の項を消去するため
( $u, v$ は1組求まればよい)
$2 v' + P v = 0 \tag{4}$
とします。
(4)より、 $v$ は1階の微分方程式であるから
これを解いて、
$v = e ^{-\dfrac{1}{2} \int P(x) dx } \tag{5}$
となります。
( $v$ は1つ決まればよいため、
任意定数は0としています。)

3. 左辺第3項を整理してもう1つの関数を求める

(3)の左辺第3項の括弧内を
(4)を用いて整理します。
$v'' = −\dfrac{1}{2} (P v' + P' v )$
これを代入して整理すると
$v'' + P v' + Q v = (Q − \dfrac{1}{2}P' − \dfrac{1}{4}P^{2}) v \tag{6}$
のようになります。
(6)を(3)に代入して
両辺を $v$ で割ると
$u'' + (Q − \dfrac{1}{2}P' − \dfrac{1}{4}P^{2})u = \dfrac{R}{v}$
という形の微分方程式ができあがります。
この形を２階線形微分方程式の標準形と呼びます。
ここから $u$ を求め、 $v$ との積を求めれば
(1)の一般解が求まるのです。