クレローの微分方程式 - ふくほのひとりごと。

ふくほです。
クレローの微分方程式について
わかることをまとめます。

1. クレローの微分方程式とは
2. 解くための大まかな方針
3. クレローの微分方程式を解く
- 3.1. p' = 0 のとき
- 3.2. x + f ' (p) = 0 のとき
最後に

1. クレローの微分方程式とは

$y' = p \tag{1}$ として
$y = p x + f(p) \tag{2}$
で表される微分方程式を
クレローの微分方程式と言います。

2. 解くための大まかな方針

(1)の両辺を $x$ で微分した方程式と
(1)の連立方程式により
$p$ を消去、または媒介変数として扱うことで
$x$ と $y$ の関係を求めます。

3. クレローの微分方程式を解く

2 の方針に従ってクレローの微分方程式の
一般解を求めてみましょう。
まず、 (1) の両辺を $x$ で微分します。
(1) を用いて
$p = p' x + p + f'(p) \cdot p' \tag{2}$
これを整理すると
$p \{ x + f'(p) \} = 0 \tag{3}$
となります。