ふくほのひとりごと。

高専生が勉強したことの自分用メモ。

1階線形微分方程式の解の公式を導く

ふくほです。

１階線形微分方程式 y' + P(x) y = Q(x) の解の公式を導きます。

別に解の公式を使わなくても微分方程式は解けますが、時間の限られた試験などでは有効になるかと思います。

 

まず完成形を、以下に示します。

y = e^{ - \int P(x) dx }  \{ \int Q(x) e^{\int P(x) dx } +C \}

 

ぱっと見るとうげっとなりがちです(私は最初なりました)が、各項がどう導かれていくのかを理解してしまうと大して難しくもありません。

項目ごとにみていきます。

1. 右辺を0として考えた同伴方程式を解く

右辺を0と考えた微分方程式 y' + P(x) y = 0を解きます。

この微分方程式を、同伴方程式といいます。

これは変数分離で簡単に求めることができます。

\dfrac{y'}{y} = - P(x)より、 C を任意定数として y = C e^{ - \int P(x) dx } と表すことができます。

2. 定数Cをxの関数uに置き換える

先ほど求めた y = C e^{ - \int P(x) dx } の定数  C を、 x の関数である u = u(x) に置き換えます。

 

3. 微分方程式に代入し、uを求める

y = u e^{ - \int P(x) dx } をもとの微分方程式 y' + P(x) y = Q(x) に代入します。

y' =  e^{ - \int P(x) dx } \{ u' - u  \int P(x) dx\} であるから、

e^{ - \int P(x) dx} \{ u' - u  \int P(x) dx\} + P(x) \times u e^{ - \int P(x) dx } = Q(x)

となります。これを整理すると、

  u' = Q(x)  e^{ \int P(x) dx}

となります。よって、 Cを定数として、 u = \int Q(x)  e^{ \int P(x) dx} dx + C と求めることができます。

4. 仕上げ

これで u = u(x) が求まりましたので、これをyに代入すれば終わりです。

初めに示した通りの、

y = e^{ - \int P(x) dx}  \{ \int Q(x) e^{\int P(x) dx } dx +C \}

 になりました！

e^{ - \int P(x) dx} は同伴方程式の解、それにかかっているものは

u(x)であるということです。

大して複雑ではないので、少しずつ脳内で導出する練習をしていこうと思います。

 

 

参考記事

以下ブログ執筆にあたって参考にさせていただいた記事です。

お世話になっております……。

www.3939life.com

www.sunsunfine.com