ふくほのひとりごと。

高専生が勉強したことの自分用メモ。

オイラーの方程式( 2階 )

ふくほです。

オイラーの方程式( 2階 )について

わかることをまとめました。

1. オイラーの方程式とは

 x^2 y'' + a x y' + b y = 0( a,  bは定数) ( x >  0)

の形で表される方程式のことを言います。

高階になると x^n y^{(n)}がまた加えられていく感じです。

今回は2階についてのみ言及します。

2. オイラーの方程式を解く

2.1. まず置換から始める

この場合、 y=x^{\lambda}( \lambdaは定数)と置換すると

うまくいきそうです。

なぜなら、

 y' = \lambda x^{\lambda -1}

 y'' = \lambda (\lambda - 1 ) x^{\lambda -2}

となり、方程式に代入すると

 \lambda (\lambda - 1 ) x^{\lambda} + a \lambda x^{\lambda} + b x^{\lambda} = 0

となり、両辺を x^{\lambda} (\not= 0 )で割ることができるため、

式が簡単になるからです。

このようにして、両辺を x^{\lambda} (\neq 0 )で割った方程式

 \lambda (\lambda - 1 ) + a \lambda + b = 0

を、この微分方程式特性方程式と呼んでいます。

2.2. 特性方程式の解から一般解を求める

先ほど示した特性方程式2次方程式であるため、

2つの解が存在します。

その解がどうなるかによって微分方程式の解は変わってくるため、

以下に示します。

2.2.1. 2つの重解を持つとき

特性方程式の解を \lambdaとすると、基本解は

 x^{\lambda}, x^{\lambda} \ln x

の2つとなります。

2つめの基本解 x^{\lambda} \ln x は、

微分方程式に1つめの基本解である x^{\lambda}

代入することで得られます。(詳細は割愛)

よってこの場合微分方程式の解は、 C_{1}, C_{2}を定数として

 y = C_{1} x^{\lambda} + C_2 x^{\lambda} \ln x

になります。

2.2.2. 2つの異なる実数解を持つとき

特性方程式の2つの解をそれぞれ \lambda _{1}, \lambda _{2}と置くと、

基本解は

 x^{\lambda _{1}}, x^{\lambda _{2}}

の2つとなります。

よってこの場合微分方程式の解は、 C_{1}, C_{2}を定数として

 y = C_{1} x^{\lambda _{1}} + C_2 x^{\lambda _{2}}

になります。

2.2.3. 2つの共役な虚数解を持つとき

特性方程式の2つの解をそれぞれ

 \alpha + i \beta , \alpha - i \beta

と置くと、基本解は

 x^{\alpha} \{ \cos(\beta \ln x ) + \sin(\beta \ln x)\}, x^{\alpha} \{ \cos(\beta \ln x ) - \sin(\beta \ln x)\}

の2つとなります。

三角関数の部分

 \cos(\beta \ln x ) \pm i \sin(\beta \ln x)

は、複素数の指数計算が関係します。

x^{i \beta}

 =e^{ \ln x^{i \beta } }

 =e^{i \beta \ln x}

 =\cos (\beta \ln x ) - \sin (\beta \ln x )
以上より、導くことができます。

また、この2つの基本解には虚数単位 iが含まれいますが、

微分方程式の解に虚数が含まれることは良しとされません。

(詳しいことはわからないのですが、数学において虚数が答えに

なること自体あまりよくないようです。)

そこで、先ほど求めた2つの基本解の線形結合で、

うまく実数解が求められないか考えます。

新たな基本解として、

 \dfrac{1}{2}\cdot [ x^{\alpha} \{ \cos(\beta \ln x ) + \sin(\beta \ln x)\}+ x^{\alpha} \{ \cos(\beta \ln x ) - \sin(\beta \ln x)\} ] = x^{\alpha} \cos(\beta \ln x )

 \dfrac{1}{2 i}\cdot [ x^{\alpha} \{ \cos(\beta \ln x ) + \sin(\beta \ln x)\} - x^{\alpha} \{ \cos(\beta \ln x ) - \sin(\beta \ln x)\} ] = x^{\alpha} \sin(\beta \ln x )

の2つを取ります。(この2つの基本解は線形独立)

以上から、微分方程式の一般解は C_{1}, C_{2}を定数として、

 C_{1} x^{\alpha}\cos ( \beta \ln x ) +C_{2} \sin ( \beta \ln x )

になります。

3. まとめ

いかん、章立てがへたくそすぎる。(精進します...)

高階オイラーの方程式の解法も近いうちにまとめたいです。

(現状何もわかってないので)

オイラーの○○、多すぎるな。

オイラーってすげぇ。

そして数学なんもわからん…