ふくほです。
オイラーの方程式( 2階 )について
わかることをまとめました。
1. オイラーの方程式とは
(, は定数) ( > )
の形で表される方程式のことを言います。
高階になるとがまた加えられていく感じです。
今回は2階についてのみ言及します。
2. オイラーの方程式を解く
2.1. まず置換から始める
この場合、(は定数)と置換すると
うまくいきそうです。
なぜなら、
となり、方程式に代入すると
となり、両辺をで割ることができるため、
式が簡単になるからです。
このようにして、両辺をで割った方程式
2.2. 特性方程式の解から一般解を求める
2つの解が存在します。
その解がどうなるかによって微分方程式の解は変わってくるため、
以下に示します。
2.2.1. 2つの重解を持つとき
特性方程式の解をとすると、基本解は
の2つとなります。
2つめの基本解は、
微分方程式に1つめの基本解である を
代入することで得られます。(詳細は割愛)
よってこの場合微分方程式の解は、を定数として
になります。
2.2.2. 2つの異なる実数解を持つとき
特性方程式の2つの解をそれぞれと置くと、
基本解は
の2つとなります。
よってこの場合微分方程式の解は、を定数として
になります。
2.2.3. 2つの共役な虚数解を持つとき
特性方程式の2つの解をそれぞれ
と置くと、基本解は
の2つとなります。
三角関数の部分
は、複素数の指数計算が関係します。
以上より、導くことができます。
また、この2つの基本解には虚数単位が含まれいますが、
(詳しいことはわからないのですが、数学において虚数が答えに
なること自体あまりよくないようです。)
そこで、先ほど求めた2つの基本解の線形結合で、
うまく実数解が求められないか考えます。
新たな基本解として、
の2つを取ります。(この2つの基本解は線形独立)
以上から、微分方程式の一般解はを定数として、
になります。
3. まとめ
いかん、章立てがへたくそすぎる。(精進します...)
高階オイラーの方程式の解法も近いうちにまとめたいです。
(現状何もわかってないので)
オイラーの○○、多すぎるな。
オイラーってすげぇ。
そして数学なんもわからん…