ふくほのひとりごと。

高専生が勉強したことの自分用メモ。

ベクトル解析 /スカラー場での 線積分・面積分

ふくほです。
久しぶりの更新です！
線積分、面積分について忘れやすいし
難しいと感じたので書き殴ります。
今回はスカラー場に限定します。

1. そもそも何をしているか

私は下のサイトを見てとても感動しました。
oshiete.goo.ne.jp
スカラー場での線積分は
一様の重みで分布している関数の
ある曲線に沿った
重みの和を求めているのです。

面積分だと、曲線が曲面に
体積分だと、立体に
それぞれなるんですね～。

2. スカラー場での線積分の計算

空間スカラー場\varphi(x,y,z)の
曲線C : x=x(t), y=y(t), z=z(t) (a\leq t \leq b)
に沿った線積分を考えます。
この時、線積分Iは
曲線の長さをsとしたとき
次のようになります。
\begin{eqnarray} I &=& \int_{C} \varphi ds\\ &=& \int_{a}^{b} \varphi(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dt \end{eqnarray}
これは、s = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dt
を用いて置換積分を行っています。


これは、先程述べたイメージから
\begin{eqnarray} I &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \varphi (t_{k})\Delta s_{k} \end{eqnarray}
を積分に帰着したものになります。
(イメージなので細かい文字の説明は
なしでざっくりこんな感じ。)

ではここで例題を。

[例題]
曲線 Cを点(-1,0,2)から点 (1,2,3)に向かう線分,
\varphi = \pi \{\sin(\pi x)+\sin(\pi y)+\sin(\pi z)\}としたとき
Cに沿う\varphiの線積分Iを求めよ。

まず、Cを媒介変数tで表してみます。
0 \leq t \leq 1としたとき, Cは
x = -1 + 2 t
y = 2 t
z = 2 + t
と表されますね。
次にパラメータを用いた x,y,zを\varphiに代入します。
\varphi = \pi \{\sin(-1+2t)\pi+\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}
あとはこれを積分するだけです。
\begin{eqnarray} I &=&\int_{C} \varphi ds \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\} \sqrt{{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}dt \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}dt \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}\sqrt{9}dt \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}\cdot 3 dt \\ &=& 3\pi [-\frac{1}{2\pi} \cos(\pi(-1+2t)) - \frac{1}{2\pi}\cos(2\pi t) - \frac{1}{\pi}\cos(\pi(2+t))]_{t=0}^{t=1} \\ &=& [-\frac{3}{2} \cos(-1+2t)\pi - \frac{3}{2}\cos2\pi t - 3\cos(2+t)\pi]_{t=0}^{t=1}\\ &=& -\frac{3}{2}\{\cos(\pi)-\cos(-\pi)\} -\frac{3}{2}\{ \cos(2\pi)-\cos(0)\}-3 \{\cos(3\pi)-\cos(2\pi)\}\\ &=& 3\cdot 2\\ &=& 6 \end{eqnarray}

やったぜ、解けた！！
計算の手順としては
1. 曲線Cをパラメータtで表す
2. Cのx,y,zを\varphiに代入する
3. \int_{a}^{b} \varphi(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dtを計算する
こんな感じ。

3. スカラー場での面積分の計算

面積分は先述の通り,
線積分の曲線Cが曲面Sに変わっただけです。
曲面S : \vec{p}(u,v) = [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]とします。
(u,vは領域D内を動いている)
この時,空間スカラー場\varphi(x,y,z)の
Sに沿った面積分Iは次のようになります。

\begin{eqnarray} I &=& \int \int_{S} \varphi(x,y,z) dS\\ &=& \int \int_{D} \varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) dS\\ &=& \int \int_{D} \varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} || dudv \end{eqnarray}

||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} || は微小面積を表しています。
(dSは面要素とか、面積要素とかって呼ばれています)

ささ、これも例題をひとつ。

[例題]
曲面\vec{r} = [u, 2\cos v , 2 \sin v]( 0 \leq u \leq 2, 0\leq v\leq \frac{\pi}{2})
をSとするとき、
スカラー場 \varphi = xyz のSにおける面積分Iを求めよ。

まず、面要素を求めましょう。
\frac{\partial \vec{p}}{\partial u} = [1, 0, 0 ]
\frac{\partial \vec{p}}{\partial v} = [0, -2\sin v, 2\cos v ]から
\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} = [0,-2\cos v, -2\sin v]
よって、
\begin{eqnarray} dS &=& ||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} || \\ &=& \sqrt{0^{2}+ {(-2\cos v)}^{2}+ {(-2\sin v)}^{2}}\\ &=& \sqrt{4\cos^{2}v + 4 \sin^{2}v}\\ &=& \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray}
次いで、Sのx,y,zを\varphiに代入します。
\begin{eqnarray} \varphi &=& xyz \\ &=& u\cdot 2\cos v \cdot 2\sin v \\ &=& 4u\sin v \cos v \\ &=& 2u\sin 2v \end{eqnarray}
あとはこれを u,vで積分するだけです。
\begin{eqnarray} I &=& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} 2u \sin 2v \cdot 2 du dv \\ &=& \int_{0}^{2} 2u du \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin 2v dv \\ &=& 4 \cdot [-\cos 2v]_{v=0}^{v=\frac{\pi}{2}}\\ &=& 4(-\cos \pi + \cos 0)\\ &=& 8 \end{eqnarray}

解けたーっ！
計算の手順としては
1. 曲面Sの面積要素を求める
2. Sのx,y,zを\varphiに代入する
3. \int \int_{D} \varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} ||du dvを計算する
こんな感じ。

4. 最後に

記事を書いたことでだいぶ理解が
深まったような気がします。
なるべく早くベクトル場ver.も書くつもりです。
何かおかしいことがあったら教えてください。
だいぶ読み返して確認はしたのですが…
なんかある気がします。
ではまた。

p.s.
ベクトル場ver.も書きました！
fukuro-hoho.hatenablog.com