ベクトル解析 / フレネセレの公式 - ふくほのひとりごと。

ふくほです。
ベクトル解析を初めて学んだときに
最初にぶつかった壁
フレネセレの公式について
簡単にまとめます。

1. 必要なベクトルをそろえる
- 1.1. 単位主法線ベクトル
- 1.2. 単位従法線ベクトル
2. 曲率と捩率
- 2.1. 曲率
- 2.2. 捩率
3. フレネセレの公式を完成させる
おわりに

1. 必要なベクトルをそろえる

位置ベクトル $\vec{p}(t)$ で与えられる
曲線 $C$ について考えていきます。

前提として、単位接線ベクトル $\vec{t}$ を
定義しておきます。
$\vec{t} = \frac{\vec{p}'}{|\vec{p}'|}$
( $\frac{d}{ds}\vec{p} = \vec{p}'$ と表記しています)
細字の $t$ は変数, 今回の単位接線ベクトル $\vec{t}$ は
ベクトルなので混乱しないようにしてください…
(私は初見で大混乱しました)
それと、今回は曲線の長さ $s$ で
微分しています。
変数変換が必要なので少し厄介ですね。

1.1. 単位主法線ベクトル

単位主法線ベクトルは $C$ の
二階微分の方向の単位ベクトルです。
これを $\vec{n}$ として
$\vec{n} = \frac{\vec{t}'}{|\vec{t}'|}$
と表すことができます。
(正規化しないものは単に
主法線ベクトルと呼ばれています)

1.2. 単位従法線ベクトル

単位従法線ベクトルは $\vec{t}$ と $\vec{n}$ の
外積で定義されるベクトルです。
これを $\vec{b}$ として
$\vec{b} = \vec{t} \times \vec{n}$
と表すことができます。
(そのままですね。)

また、外積はその2ベクトルが張る
平行四辺形の面積になりますが
今回の $\vec{t}, \vec{n}$ が張るのは
1辺1の正方形であるため
$\vec{b}$ の大きさは1になります。
特に正規化しなくてももともと
単位ベクトルになっているわけです。

2. 曲率と捩率

上記の二つのベクトルの考え方がわかると
曲率と捩率を求めることができます。
文字通り、曲率は曲線の曲がり具合を
捩率は曲線のねじれ具合を表しています。
(「捩じれる」でねじれるって読むらしい)

2.1. 曲率

曲率 $\kappa$ は $|\vec{t}'|$ で表すことができます。
$C$ の接線の傾きが急に変化するほど
曲率は大きくなります。
この $C$ の接線の傾きの変化が
$|\vec{t}'|$ というわけです。

よって、 $\vec{t}' = \kappa \vec{n}$
という関係式が成り立ちます。
これがフレネセレの公式の第1式です。

また、 $\kappa$ の逆数を曲率半径と呼び
$C$ の各点を円の一部と
みなしたとき、その円の半径を
表しています。

個人的にわかりやすかった記事↓
math.keicode.com

2.2. 捩率

捩率 $\tau$ は $\vec{b}' = - \tau \vec{n}$
から求めることができます。

単位従法線ベクトルのところで用いた
$\vec{b} = \vec{t} \times \vec{n}$
の両辺を $t$ で微分すると
(途中式は省略しますすみません。)
$\vec{b}' = \vec{t} \times \vec{n}'$
という関係式が現れます。
ここから、 $\vec{b}' \perp \vec{t}$
がわかります。

よって、 $\vec{b}'$ は $\vec{b}$ , $\vec{t}$ の
両方に直交することが分かりました。
また $\vec{n}$ も $\vec{t}$ と直交しているため
以下の式が成り立ちます。
$\vec{b}' = - \tau \vec{n}$
これがフレネセレの公式の第2式です。

$\tau$ は曲線の長さに対する $\vec{b}$ の変化率を表し
$\tau>0$ のとき、進行方向から見て右側に
$\tau<0$ のとき、進行方向から見て左側に
それぞれ曲線がねじれているといえます。

3. フレネセレの公式を完成させる

最後に、 $\vec{n}$ の導関数について考えます。
$\vec{b} = \vec{t} \times \vec{n}$
より
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{t}$
が成立します。

この両辺を $s$ で微分して整理すると
$\vec{n}' = -\kappa \vec{t} + \tau \vec{b}$
が得られます。
これがフレネセレの公式の第3式です。

以上長くなりましたが
フレネセレの公式を
すべて導くことができました！

位置ベクトル $\vec{p}$ で表される
曲線 $C$ において
$\vec{t} = \frac{\vec{p}'}{|\vec{p}'|}$
$\vec{n} = \frac{\vec{t}'}{|\vec{t}'|}$
$\vec{b} = \vec{t} \times \vec{n}$
$\kappa$ を曲率( $\kappa = |\vec{t}'|$ )、 $\tau$ を捩率
としたとき以下の３式が成立する。
(1) $\vec{t}' = \kappa \vec{n}$
(2) $\vec{b}' = - \tau \vec{n}$
(3) $\vec{n}' = - \kappa \vec{t} +\tau \vec{b}$