ベクトル解析 / ベクトル場での線積分・面積分

ふくほです。
線積分・面積分の記事2つ目です。
スカラー場ver.に引き続き
ベクトル場ver.も書きます！

1. そもそも何をしているか

線積分は、ある点が、力を受けながら
曲線に沿って移動するときの
仕事を求めています。
この受けている力がベクトル場 $\vec{a}$ です。
移動の大きさを $\Delta r$ とすると、
この $\Delta r$ に対して $\vec{a}$ がなす仕事は
$\Delta r \cdot \vec{a}$ と表されます。
小さな移動を合計して
曲線に沿う仕事を求める、
これがベクトル場での線積分です。

面積分は、流体の中に向きが定められた
曲面がある時この曲面を通る
単位時間当たりの流出量を求めています。
面積ベクトルを $\Delta S$ ,
流体のベクトルを $\vec{a}$ とすると、
流出量は $\vec{a} \cdot \Delta S$ となります。
この微小面積を合計して
曲面での流出量を求める、
これがベクトル場での面積分です。
面積ベクトルの詳しい説明は次のサイト
でつかめると思います。
hooktail.sub.jp

2. ベクトル場での線積分の計算

曲線 $C: [x(t),y(t),z(t)](a \leq t \leq b)$ 、
ベクトル場 $\vec{a} = \vec{a}(x,y,z)$ としたとき
$C$ に沿う $\vec{a}$ の線積分 $I$ は
$\begin{eqnarray} I = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \vec{a}(t_{k})\cdot \Delta \vec{r_k} \end{eqnarray}$
ここから次のように表すことができます。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{C} \vec{a}\cdot d\vec{r} \\ &=& \int_{a}^{b} \vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}dt \end{eqnarray}$
$\frac{d\vec{r}}{dt}$ は $C$ の接線ベクトルです。
被積分関数は内積なのでスカラになります。

ではここで例題をひとつ。
[例題]
点 $(5,-2,1)$ から点 $(-3,1,4)$ に向かう
線分を $C$ とする。
この時ベクトル場 $\vec{a} = [2x-3y,-3x,4z]$ の
$C$ に沿う線積分を求めよ。

$C$ は媒介変数 $t(0 \leq t \leq 1)$ を用いて
$x = 5 -8t$
$y=-2+3t$
$z=1+3t$
と表されます。
これを $\vec{a}$ に代入すると
$\begin{eqnarray} \vec{a} &=& [2(5-8t)-3(-2+3t), -3(5-8t), 4(1+3t)]\\ &=& [-25t + 16, 24t-15, 12t+4] \end{eqnarray}$
が得られます。
また、 $C$ の接線ベクトルは
$\frac{d\vec{r}}{dt} = [-8,3,3]$
であるため、被積分関数は
$\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} &=& -8(-25t+16)+3(24t-15)+3(12t+4)\\ &=& 308t -161 \end{eqnarray}$
あとは積分するだけです。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{C} \vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}dt \\ &=& \int_{0}^{1} (308t -161)dt\\ &=& 154-161\\ &=& -7 \end{eqnarray}$
求まった～！
手順を簡単にまとめると
1. $C$ をパラメータで表す
2. $\vec{a}$ に $C$ の $x,y,z$ を代入
3. $C$ の接線ベクトルを求める
4. $\int_{C}\vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} dt$ を求める
といった感じです。

2. ベクトル場での面積分の計算

有向な曲面 $S: \vec{r}(u,v)$ の定義域を $D$ とします。
曲面 $S$ におけるベクトル場 $\vec{a}$ の
面積分 $I$ は次のように表されます。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{S} \vec{a} \cdot d \vec{S} \\ &=& \pm \int \int_{D} \vec{a}(u,v)\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v})du dv \end{eqnarray}$
ここで、符号は $\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$ が外向きの時に正、
内向きの時に負となります。

ここで例題を１問。
[例題]
曲面を $S: \vec{r} = [v\cos u, v\sin u, 1-v^{2}]$
$(0\leq u \leq 2\pi, 0\leq v \leq 1)$ 、
ベクトル場を $\vec{a} = [xz, yz, 1]$ とする。
$S$ の法線ベクトルのうち、 $z$ 成分が正のものが
外向きであるように向きを定めたとき、
$\vec{a}$ の $S$ における面積分 $I$ の値を求めよ。

まず面積ベクトルを求めます。
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = [-v\sin u, v\cos u, 0]$
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = [\cos u, \sin u, -2v]$
ここから
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = [-2v^{2}\cos u, -2v^{2}\sin u, -v]$
が求まります。
$z$ 成分が負なので内向きの法線ベクトルになっています。
次に
$x=v\cos u, y=v\sin u, z=1-v^{2}$ を $\vec{a}$ に代入して
$\vec{a} = [v\cos u(1-v^{2}), v\sin u(1-v^{2}),1]$
が得られます。
よって、被積分関数を計算することができます。
$\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}) &=& -2v^{3}\cos^{2}u(1-v^{2})-2v^{3}\sin^{2}u(1-v^{2})-v\\ &=&-2v^{3}(1-v^{2})-v\\ &=&-v-2v^{3}+2v^{5} \end{eqnarray}$
最後に積分をしてフィナーレです。
この時、面積ベクトルが内向きであるため
マイナスをつけます。
$\begin{eqnarray} \int \int_{D} \{-\vec{a}(u,v)\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v})\}du dv &=& -\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} -v-2v^{3}+2v^{5}du dv\\ &=& - 2\pi \int_{0}^{1}-v-2v^{3}+2v^{5} dv \\ &=& -2\pi (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\\ &=& -2\pi \cdot (-\frac{2}{3})\\ &=& \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray}$

何とか求まりました！
1. 面積ベクトルを求める
2. $\vec{a}$ を $u,v$ で表す
3. $\int \int_{D} \{\pm\vec{a}(u,v)\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v})\}du dv$ を計算する
の手順を踏めばよさそうです。