フーリエ解析 / フーリエ級数の係数を求める

ふくほです。
フーリエ解析の基礎を始めました。
今回は係数の求め方についてまとめます。

1. 求める形
2.フーリエ係数を求める
3. フーリエ余弦級数とフーリ正弦級数
4. 終わりに

1. 求める形

$f(x)$ を周期 $T$ の周期関数とします。
この関数をフーリエ級数で、すなわち
$f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T}+ b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T}) \tag{1}$
と表せないかを考えます。
また、以下積分と級数を
入れ替えてもいいものとします。
(複雑な事情があるらしいですが
詳しいことは分かりません…。)

この式の定数(フーリエ係数と呼ばれます)
$a_{0}, a_{n},b_{n}$ を求めていきます。

ここで、異なる任意の自然数 $n,m$ において
以下の式が成り立ちます。
(積和の公式を用いると証明できます)
この式は導出で重要になります。
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}\sin{mx}\sin{nx} dx = 0 \\ \int_{0}^{T}\cos{mx}\cos{nx} dx = 0 \\ \int_{0}^{T}\sin{mx}\sin{nx} dx = 0 \\ \int_{0}^{T}(\cos{mx})^2 dx = \frac{T}{2} \\ \int_{0}^{T}(\sin{mx})^2 dx = \frac{T}{2} \\ \end{eqnarray} \tag{*}$

2.フーリエ係数を求める

2.1. a_0を求める

見出しでTeX表記出来ないらしいですね〜…。
(1)式の両辺を1周期で積分します。
$\int_{0}^{T}f(x) dx = \int_{0}^{T}a_{0}dx + \int_{0}^{T}\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T}+ b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T}) \tag{2}$
左辺第2項、第3項は0となるため
この式を整理すると
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}f(x) dx = \int_{0}^{T}a_{0}dx \\ \int_{0}^{T}f(x) dx = a_{0}T\\ a_{0} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(x) dx \tag{3} \end{eqnarray}$
が得られます。

2.2. a_nを求める

(1)の両辺に、 $\cos{mx}$ をかけます。
すると以下の式が出来ますね。

$f(x) \cos{mx} = a_{0} \cos{mx} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T} \cos{mx} + b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T} \cos{mx}) \tag{4}$

そして、(4)を1周期で積分します。
(*)で示した式を用いると、
$\frac{2 \pi n x}{T} = m$ となる $n$ 以外の
全ての $n$ において、積分値は0となります。
よって積分した式を整理すると
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}f(x)\cos{mx}dx = a_{m}\frac{T}{2}\\ a_{m} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T}f(x) \cos{mx} dx\tag{5} \end{eqnarray}$
が得られます。
$m$ は任意の自然数です。

2.3. b_nを求める

(1)の両辺に、 $\sin{mx}$ をかけます。
すると以下の式が出来ますね。

$f(x) \sin{mx} = a_{0} \sin{mx} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T} \sin{mx} + b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T} \sin{mx}) \tag{6}$

そして、(6)を1周期で積分します。
(*)で示した式を用いると、
$\frac{2 \pi n x}{T} = m$ となる $n$ 以外の
全ての $n$ において、積分値は0となります。
よって積分した式を整理すると
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}f(x)\sin{mx}dx = b_{m}\frac{T}{2}\\ b_{m} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T}f(x) \sin{mx} dx \tag{7} \end{eqnarray}$
が得られます。
$m$ は任意の自然数です。

3. フーリエ 余弦 級数とフーリ正弦級数

フーリエ級数にする関数が偶関数の場合、
$b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T}$ の成分は
$\sin{x}$ が奇関数であるから
0になります。

奇関数の場合は逆に、
$a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T}$ の成分は
$\cos{x}$ が奇関数であるから
0になります。

偶関数×奇関数は奇関数、
偶関数×偶関数は偶関数です。

従って、 $f(x)$ が偶関数の場合は
$\begin{eqnarray} f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T} \end{eqnarray} \tag{8}$
奇関数の場合は
$\begin{eqnarray} f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}frac{2 \pi n x}{T} \end{eqnarray} \tag{9}$
と表すことができます。
それぞれフーリエ余弦級数、
フーリエ正弦級数と呼びます。