2021-02-05

電気回路 / テブナンの定理を導く

ふくほです。
電気回路何もわからんので, 記事にまとめるところから始めようとおもいます。

テブナンの定理は重ね合わせの理を用いることで導き出せます。
線型回路網を見ていくための重要な基礎となるので, 今回は導いてみようと思います。
最後には少しだけ, テブナンの定理と双対の関係にあるノートンの定理にも触れようと思います。

1 テブナンの定理
- 1.1 定理の概要
- 1.2 定理の証明
2 ノートンの定理
3 最後に
4 参考書籍

1 テブナンの定理

「鳳-テブナンの定理」とも呼ばれます。これはテブナンさんが直流で, 鳳太郎さんが交流で成立することを示したことに由来するそうです。

1.1 定理の概要

図のように起電力とインピーダンスを含む回路網中の1つの端子 $ab$ に着目します。 $ab$ 間の開放電圧を $E$ , $ab$ から見た回路網のインピーダンスを $Z_0$ とすれば, 端子対 $ab$ に任意のインピーダンス $Z$ を接続したときに $Z$ に流れる電流 $I$ は, 次のようになります。
$I=\dfrac{E}{Z_0+Z}$

$Z_0$ は, 回路網中のすべての起電力を短絡除去して計算します。

1.2 定理の証明

f:id:fukuro_hoho:20210205141807p:plain
上の図のように, $Z$ と直列に $ab$ 間の開放電圧に等しい2つの電圧源を考えます。(図における矢印は上向きが正, 下向きが負)これらは打ち消し合うので, 全体で見ればなくても同じです。次に, 回路網中の電源 $E_1,E_2, ..., E_n,E$ が同時に働いた場合と $-E$ のみが働いた場合で重ね合わせることを考えます。
前者の場合, $ab$ 間は均衡を保っているためこの時電流は流れません。後者の場合, 流れる電流は $I=\dfrac{E}{Z_0+Z}$ となります。重ね合わせの理から, この結果が全体に流れる電流に等しいことがわかります。

2 ノートンの定理

ノートンの定理はテブナンの定理の双対だといえます。電流と電圧、インピーダンスとアドミタンス、解放と短絡を入れ替えることでできあがってしまいます。
起電力とインピーダンスを含む回路網中の1つの端子 $ab$ に着目します。 $ab$ 間の短絡電流を $I$ , $ab$ から見た回路網のアドミタンスを $Y_0$ とすれば, 端子対 $ab$ に任意のアドミタンス $Y$ を接続したときに $Y$ で生じる電圧降下 $V$ は, 次のようになります。
$V=\dfrac{I}{Y_0+Y}$

3 最後に

これらの定理は二端子回路網を学んでいくうえでかなり重要みたいです。いきなり回路中の抵抗を1つ変えたりしても, 1つの式に,代入する値を変えるだけで電圧降下と電流が求まる優れものです。
なんとなく理解していてもすぐに忘れてしまうので, こうやって導出していくのはだいぶ有効なのではないかと思います。苦労しないとずっと頭に残らないし。
いきなり定理だけ言われてもなかなか実用に至らないので今回は重ね合わせを使って導いてみましたが, 意外と単純でびっくりですね。2つに分けただけ。今回は例題には至らなかったわけですが, しっかり使えるようになって今後さらに回路基礎を学んでいく土台にしていきたいとおもいます。
電気回路の記事も, ちゃんと書いて理解していくぞ～！(素振り)

4 参考書籍

お世話になった本には感謝の気持ちを忘れないように, ここに記しておきます。
・電気回路論(電気学会大学講座), 2008/5/1, 3版第1刷
・電気回路(1)直流・交流回路編, 1991/01/30 初版第7刷
2冊目は表紙の裏のページに数研出版チャート式の要領で色々書いてあって個人的に好きです。

2020-12-21

フーリエ解析 / フーリエ級数の係数を求める

ふくほです。
フーリエ解析の基礎を始めました。
今回は係数の求め方についてまとめます。

1. 求める形
2.フーリエ係数を求める
3. フーリエ余弦級数とフーリ正弦級数
4. 終わりに

1. 求める形

$f(x)$ を周期 $T$ の周期関数とします。
この関数をフーリエ級数で、すなわち
$f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T}+ b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T}) \tag{1}$
と表せないかを考えます。
また、以下積分と級数を
入れ替えてもいいものとします。
(複雑な事情があるらしいですが
詳しいことは分かりません…。)

この式の定数(フーリエ係数と呼ばれます)
$a_{0}, a_{n},b_{n}$ を求めていきます。

ここで、異なる任意の自然数 $n,m$ において
以下の式が成り立ちます。
(積和の公式を用いると証明できます)
この式は導出で重要になります。
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}\sin{mx}\sin{nx} dx = 0 \\ \int_{0}^{T}\cos{mx}\cos{nx} dx = 0 \\ \int_{0}^{T}\sin{mx}\sin{nx} dx = 0 \\ \int_{0}^{T}(\cos{mx})^2 dx = \frac{T}{2} \\ \int_{0}^{T}(\sin{mx})^2 dx = \frac{T}{2} \\ \end{eqnarray} \tag{*}$

2.フーリエ係数を求める

2.1. a_0を求める

見出しでTeX表記出来ないらしいですね〜…。
(1)式の両辺を1周期で積分します。
$\int_{0}^{T}f(x) dx = \int_{0}^{T}a_{0}dx + \int_{0}^{T}\sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T}+ b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T}) \tag{2}$
左辺第2項、第3項は0となるため
この式を整理すると
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}f(x) dx = \int_{0}^{T}a_{0}dx \\ \int_{0}^{T}f(x) dx = a_{0}T\\ a_{0} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T}f(x) dx \tag{3} \end{eqnarray}$
が得られます。

2.2. a_nを求める

(1)の両辺に、 $\cos{mx}$ をかけます。
すると以下の式が出来ますね。

$f(x) \cos{mx} = a_{0} \cos{mx} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T} \cos{mx} + b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T} \cos{mx}) \tag{4}$

そして、(4)を1周期で積分します。
(*)で示した式を用いると、
$\frac{2 \pi n x}{T} = m$ となる $n$ 以外の
全ての $n$ において、積分値は0となります。
よって積分した式を整理すると
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}f(x)\cos{mx}dx = a_{m}\frac{T}{2}\\ a_{m} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T}f(x) \cos{mx} dx\tag{5} \end{eqnarray}$
が得られます。
$m$ は任意の自然数です。

2.3. b_nを求める

(1)の両辺に、 $\sin{mx}$ をかけます。
すると以下の式が出来ますね。

$f(x) \sin{mx} = a_{0} \sin{mx} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T} \sin{mx} + b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T} \sin{mx}) \tag{6}$

そして、(6)を1周期で積分します。
(*)で示した式を用いると、
$\frac{2 \pi n x}{T} = m$ となる $n$ 以外の
全ての $n$ において、積分値は0となります。
よって積分した式を整理すると
$\begin{eqnarray} \int_{0}^{T}f(x)\sin{mx}dx = b_{m}\frac{T}{2}\\ b_{m} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T}f(x) \sin{mx} dx \tag{7} \end{eqnarray}$
が得られます。
$m$ は任意の自然数です。

3. フーリエ 余弦 級数とフーリ正弦級数

フーリエ級数にする関数が偶関数の場合、
$b_{n}\sin\frac{2 \pi n x}{T}$ の成分は
$\sin{x}$ が奇関数であるから
0になります。

奇関数の場合は逆に、
$a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T}$ の成分は
$\cos{x}$ が奇関数であるから
0になります。

偶関数×奇関数は奇関数、
偶関数×偶関数は偶関数です。

従って、 $f(x)$ が偶関数の場合は
$\begin{eqnarray} f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\frac{2 \pi n x}{T} \end{eqnarray} \tag{8}$
奇関数の場合は
$\begin{eqnarray} f(x) = a_{0} + \sum_{n=1}^{\infty}frac{2 \pi n x}{T} \end{eqnarray} \tag{9}$
と表すことができます。
それぞれフーリエ余弦級数、
フーリエ正弦級数と呼びます。

4. 終わりに

私はここの理解に結構苦しみました。
任意の周期関数が、全く重ならないにしても
三角関数で近似できるのは
すごいなぁと思いました…。

今回の級数にする動作が、
今後のフーリエ変換や複素フーリエ級数に
役立っていくので、復習を怠らずに
いたいと思います。

2020-12-09

ベクトル解析 / ベクトル場での線積分・面積分

ふくほです。
線積分・面積分の記事2つ目です。
スカラー場ver.に引き続き
ベクトル場ver.も書きます！

1. そもそも何をしているか

線積分は、ある点が、力を受けながら
曲線に沿って移動するときの
仕事を求めています。
この受けている力がベクトル場 $\vec{a}$ です。
移動の大きさを $\Delta r$ とすると、
この $\Delta r$ に対して $\vec{a}$ がなす仕事は
$\Delta r \cdot \vec{a}$ と表されます。
小さな移動を合計して
曲線に沿う仕事を求める、
これがベクトル場での線積分です。

面積分は、流体の中に向きが定められた
曲面がある時この曲面を通る
単位時間当たりの流出量を求めています。
面積ベクトルを $\Delta S$ ,
流体のベクトルを $\vec{a}$ とすると、
流出量は $\vec{a} \cdot \Delta S$ となります。
この微小面積を合計して
曲面での流出量を求める、
これがベクトル場での面積分です。
面積ベクトルの詳しい説明は次のサイト
でつかめると思います。
hooktail.sub.jp

2. ベクトル場での線積分の計算

曲線 $C: [x(t),y(t),z(t)](a \leq t \leq b)$ 、
ベクトル場 $\vec{a} = \vec{a}(x,y,z)$ としたとき
$C$ に沿う $\vec{a}$ の線積分 $I$ は
$\begin{eqnarray} I = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} \vec{a}(t_{k})\cdot \Delta \vec{r_k} \end{eqnarray}$
ここから次のように表すことができます。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{C} \vec{a}\cdot d\vec{r} \\ &=& \int_{a}^{b} \vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}dt \end{eqnarray}$
$\frac{d\vec{r}}{dt}$ は $C$ の接線ベクトルです。
被積分関数は内積なのでスカラになります。

ではここで例題をひとつ。
[例題]
点 $(5,-2,1)$ から点 $(-3,1,4)$ に向かう
線分を $C$ とする。
この時ベクトル場 $\vec{a} = [2x-3y,-3x,4z]$ の
$C$ に沿う線積分を求めよ。

$C$ は媒介変数 $t(0 \leq t \leq 1)$ を用いて
$x = 5 -8t$
$y=-2+3t$
$z=1+3t$
と表されます。
これを $\vec{a}$ に代入すると
$\begin{eqnarray} \vec{a} &=& [2(5-8t)-3(-2+3t), -3(5-8t), 4(1+3t)]\\ &=& [-25t + 16, 24t-15, 12t+4] \end{eqnarray}$
が得られます。
また、 $C$ の接線ベクトルは
$\frac{d\vec{r}}{dt} = [-8,3,3]$
であるため、被積分関数は
$\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} &=& -8(-25t+16)+3(24t-15)+3(12t+4)\\ &=& 308t -161 \end{eqnarray}$
あとは積分するだけです。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{C} \vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}dt \\ &=& \int_{0}^{1} (308t -161)dt\\ &=& 154-161\\ &=& -7 \end{eqnarray}$
求まった～！
手順を簡単にまとめると
1. $C$ をパラメータで表す
2. $\vec{a}$ に $C$ の $x,y,z$ を代入
3. $C$ の接線ベクトルを求める
4. $\int_{C}\vec{a}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt} dt$ を求める
といった感じです。

2. ベクトル場での面積分の計算

有向な曲面 $S: \vec{r}(u,v)$ の定義域を $D$ とします。
曲面 $S$ におけるベクトル場 $\vec{a}$ の
面積分 $I$ は次のように表されます。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{S} \vec{a} \cdot d \vec{S} \\ &=& \pm \int \int_{D} \vec{a}(u,v)\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v})du dv \end{eqnarray}$
ここで、符号は $\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$ が外向きの時に正、
内向きの時に負となります。

ここで例題を１問。
[例題]
曲面を $S: \vec{r} = [v\cos u, v\sin u, 1-v^{2}]$
$(0\leq u \leq 2\pi, 0\leq v \leq 1)$ 、
ベクトル場を $\vec{a} = [xz, yz, 1]$ とする。
$S$ の法線ベクトルのうち、 $z$ 成分が正のものが
外向きであるように向きを定めたとき、
$\vec{a}$ の $S$ における面積分 $I$ の値を求めよ。

まず面積ベクトルを求めます。
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = [-v\sin u, v\cos u, 0]$
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = [\cos u, \sin u, -2v]$
ここから
$\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = [-2v^{2}\cos u, -2v^{2}\sin u, -v]$
が求まります。
$z$ 成分が負なので内向きの法線ベクトルになっています。
次に
$x=v\cos u, y=v\sin u, z=1-v^{2}$ を $\vec{a}$ に代入して
$\vec{a} = [v\cos u(1-v^{2}), v\sin u(1-v^{2}),1]$
が得られます。
よって、被積分関数を計算することができます。
$\begin{eqnarray} \vec{a}\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}) &=& -2v^{3}\cos^{2}u(1-v^{2})-2v^{3}\sin^{2}u(1-v^{2})-v\\ &=&-2v^{3}(1-v^{2})-v\\ &=&-v-2v^{3}+2v^{5} \end{eqnarray}$
最後に積分をしてフィナーレです。
この時、面積ベクトルが内向きであるため
マイナスをつけます。
$\begin{eqnarray} \int \int_{D} \{-\vec{a}(u,v)\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v})\}du dv &=& -\int_{0}^{1}\int_{0}^{2\pi} -v-2v^{3}+2v^{5}du dv\\ &=& - 2\pi \int_{0}^{1}-v-2v^{3}+2v^{5} dv \\ &=& -2\pi (-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3})\\ &=& -2\pi \cdot (-\frac{2}{3})\\ &=& \frac{4}{3}\pi \end{eqnarray}$

何とか求まりました！
1. 面積ベクトルを求める
2. $\vec{a}$ を $u,v$ で表す
3. $\int \int_{D} \{\pm\vec{a}(u,v)\cdot (\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v})\}du dv$ を計算する
の手順を踏めばよさそうです。

4.最後に

とても掴みにくかったベクトル場での積分について
何とかまとめられてよかったです。
間違ってるところとか、改善の余地とかがあれば
教えていただけるとありがたいです。
筆者はありったけの数学力を駆使して
この記事を書きました。
本当に数学って難しい。

よかったらスカラー場ver.も読んでみてください！
fukuro-hoho.hatenablog.com

2020-12-09

ベクトル解析 /スカラー場での線積分・面積分

ふくほです。
久しぶりの更新です！
線積分、面積分について忘れやすいし
難しいと感じたので書き殴ります。
今回はスカラー場に限定します。

1. そもそも何をしているか
2. スカラー場での線積分の計算
3. スカラー場での面積分の計算
4. 最後に

1. そもそも何をしているか

私は下のサイトを見てとても感動しました。
oshiete.goo.ne.jp
スカラー場での線積分は
一様の重みで分布している関数の
ある曲線に沿った
重みの和を求めているのです。

面積分だと、曲線が曲面に
体積分だと、立体に
それぞれなるんですね～。

2. スカラー場での線積分の計算

空間スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ の
曲線 $C : x=x(t), y=y(t), z=z(t) (a\leq t \leq b)$
に沿った線積分を考えます。
この時、線積分 $I$ は
曲線の長さを $s$ としたとき
次のようになります。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{C} \varphi ds\\ &=& \int_{a}^{b} \varphi(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dt \end{eqnarray}$
これは、 $s = \int_{a}^{b} \sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dt$
を用いて置換積分を行っています。

これは、先程述べたイメージから
$\begin{eqnarray} I &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \varphi (t_{k})\Delta s_{k} \end{eqnarray}$
を積分に帰着したものになります。
(イメージなので細かい文字の説明は
なしでざっくりこんな感じ。)

ではここで例題を。

[例題]
曲線 $C$ を点 $(-1,0,2)$ から点 $(1,2,3)$ に向かう線分,
$\varphi = \pi \{\sin(\pi x)+\sin(\pi y)+\sin(\pi z)\}$ としたとき
$C$ に沿う $\varphi$ の線積分 $I$ を求めよ。

まず、 $C$ を媒介変数 $t$ で表してみます。
$0 \leq t \leq 1$ としたとき, $C$ は
$x = -1 + 2 t$
$y = 2 t$
$z = 2 + t$
と表されますね。
次にパラメータを用いた $x,y,z$ を $\varphi$ に代入します。
$\varphi = \pi \{\sin(-1+2t)\pi+\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}$
あとはこれを積分するだけです。
$\begin{eqnarray} I &=&\int_{C} \varphi ds \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\} \sqrt{{x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}}dt \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{1}^{2}}dt \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}\sqrt{9}dt \\ &=& \int_{0}^{1} \pi \{\sin(-1+2t)\pi +\sin2\pi t+\sin(2+t)\pi\}\cdot 3 dt \\ &=& 3\pi [-\frac{1}{2\pi} \cos(\pi(-1+2t)) - \frac{1}{2\pi}\cos(2\pi t) - \frac{1}{\pi}\cos(\pi(2+t))]_{t=0}^{t=1} \\ &=& [-\frac{3}{2} \cos(-1+2t)\pi - \frac{3}{2}\cos2\pi t - 3\cos(2+t)\pi]_{t=0}^{t=1}\\ &=& -\frac{3}{2}\{\cos(\pi)-\cos(-\pi)\} -\frac{3}{2}\{ \cos(2\pi)-\cos(0)\}-3 \{\cos(3\pi)-\cos(2\pi)\}\\ &=& 3\cdot 2\\ &=& 6 \end{eqnarray}$

やったぜ、解けた！！
計算の手順としては
1. 曲線 $C$ をパラメータ $t$ で表す
2. $C$ の $x,y,z$ を $\varphi$ に代入する
3. $\int_{a}^{b} \varphi(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+z'(t)^{2}}dt$ を計算する
こんな感じ。

3. スカラー場での面積分の計算

面積分は先述の通り,
線積分の曲線 $C$ が曲面 $S$ に変わっただけです。
曲面 $S : \vec{p}(u,v) = [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]$ とします。
( $u,v$ は領域 $D$ 内を動いている)
この時,空間スカラー場 $\varphi(x,y,z)$ の
$S$ に沿った面積分 $I$ は次のようになります。

$\begin{eqnarray} I &=& \int \int_{S} \varphi(x,y,z) dS\\ &=& \int \int_{D} \varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) dS\\ &=& \int \int_{D} \varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} || dudv \end{eqnarray}$

$||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} ||$ は微小面積を表しています。
( $dS$ は面要素とか、面積要素とかって呼ばれています)

ささ、これも例題をひとつ。

[例題]
曲面 $\vec{r} = [u, 2\cos v , 2 \sin v]$ ( $0 \leq u \leq 2, 0\leq v\leq \frac{\pi}{2}$ )
を $S$ とするとき、
スカラー場 $\varphi = xyz$ の $S$ における面積分 $I$ を求めよ。

まず、面要素を求めましょう。
$\frac{\partial \vec{p}}{\partial u} = [1, 0, 0 ]$
$\frac{\partial \vec{p}}{\partial v} = [0, -2\sin v, 2\cos v ]$ から
$\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} = [0,-2\cos v, -2\sin v]$
よって、
$\begin{eqnarray} dS &=& ||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} || \\ &=& \sqrt{0^{2}+ {(-2\cos v)}^{2}+ {(-2\sin v)}^{2}}\\ &=& \sqrt{4\cos^{2}v + 4 \sin^{2}v}\\ &=& \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray}$
次いで、 $S$ の $x,y,z$ を $\varphi$ に代入します。
$\begin{eqnarray} \varphi &=& xyz \\ &=& u\cdot 2\cos v \cdot 2\sin v \\ &=& 4u\sin v \cos v \\ &=& 2u\sin 2v \end{eqnarray}$
あとはこれを $u,v$ で積分するだけです。
$\begin{eqnarray} I &=& \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} 2u \sin 2v \cdot 2 du dv \\ &=& \int_{0}^{2} 2u du \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin 2v dv \\ &=& 4 \cdot [-\cos 2v]_{v=0}^{v=\frac{\pi}{2}}\\ &=& 4(-\cos \pi + \cos 0)\\ &=& 8 \end{eqnarray}$

解けたーっ！
計算の手順としては
1. 曲面 $S$ の面積要素を求める
2. $S$ の $x,y,z$ を $\varphi$ に代入する
3. $\int \int_{D} \varphi(x(u,v),y(u,v),z(u,v))||\frac{\partial \vec{p}}{\partial u}\times \frac{\partial \vec{p}}{\partial v} ||du dv$ を計算する
こんな感じ。

4. 最後に

記事を書いたことでだいぶ理解が
深まったような気がします。
なるべく早くベクトル場ver.も書くつもりです。
何かおかしいことがあったら教えてください。
だいぶ読み返して確認はしたのですが…
なんかある気がします。
ではまた。

p.s.
ベクトル場ver.も書きました！
fukuro-hoho.hatenablog.com

2020-11-18

AtCoder / 乱数作成

ふくほです。
ABC028-D 乱数作成
を解きました。
atcoder.jp

考えたこと
提出コード
感想

考えたこと

数学の問題。
3つの数字を選んだとき $k$ が
中央値となる場合は以下が考えられます。
1. 3回とも $k$ が出る
2. 2回 $k$ が、1回 $k$ より大きい数が出る
3. 2回 $k$ が、1回 $k$ より小さい数が出る
4. $k$ , $k$ より大きい数, $k$ より小さい数が
1回ずつ出る